家長、老師數學解題不同調，孩子怎麼辦？
901減多少等於106？近來臉書上一道三年級數學題引發家長網友們暴怒，901減多少等於106？空格中該填什麼數字？學生的算法是用901減去106，得到答案795，卻被老師用紅筆圈起來，並在旁邊寫下901≒900，106≒100，900－100＝800，795≒800，因此空格數字得到7。（來源：東森新聞）
家長、老師解題不同調，孩子無所適從，怎麼辦？本文由臺北市大安區仁愛國小趙曉燕老師提出七種親師之間經常教法不一、方法迥異的數學觀念，協助家長與老師在同一陣線，讓孩子不再成為夾心餅乾。
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指導孩子寫數學作業時，孩子抱怨：「我們老師不是這樣教的啦！」、孩子遵從家長的解題方式，結果作業本上被老師打個大「×」……難道現在的數學，和我們過去學的不一樣嗎？
你是否也曾遇過以上情況？請 先息怒。隨著教育思潮愈來愈重視孩童認知發展，當家長準備拿過去所學的數學來教導孩子時，會有什麼陷阱？要怎麼教才不會適得其反、阻礙孩子建立下一階段的數學概念？
無論老師或家長，相信出發點都是好意，希望孩子學會。但家長過去所學的數學解題或講解方式，已有許多地方與現在孩子的教科書不同。以下舉出家長與老師經常「不同調」的七種數學觀念，協助你更了解當今的數學教學思維。
困擾1│是數數還是唱數？
× 由1開始唸誦數字，能唸的數字愈大代表愈厲害。
○ 用手依序指著物件，建立數字與物品的對應關係。
很多孩子在進入國小前，已經能由1唱數到10或100，甚至更大的數。大人也極力稱讚這樣的孩子好聰明。但事實上，孩子真正掌握到了整數概念嗎？
在數數時，我們需注意孩子能否「一對一的對應」，也就是口中唸出「ㄧ、ㄦˋ、ㄙㄢ、ㄙˋ、ㄨˇ、ㄌㄧㄡˋ、ㄑㄧ」，手也同時依序指著一個個的物件。透過這個連結，數字和物件之間才能產生「一對一的對應關係」，孩子得以了解他所唸的最後一個數字，就代表這批物品的全部數量。這個過程，在數學教學領域稱為「點數」活動，不僅能幫助孩子啟蒙整數概念，更是後續學習加、減法的重要基礎。
困擾2│如何認識相鄰兩位值間的關係？
× 只強調「左邊是右邊的十倍，右邊是左邊的十分之一倍」口訣。
○ 運用「化成相同單位比較，看看左邊是右邊的多少倍」的方式。
孩子在國小低年級，就會接觸到「個、十、百……」等在數學上稱為「位值」的概念。對於「位值」，許多大人會這麼教孩子：數字左邊位置的位值都是相鄰右邊位置位值的10倍，數字右邊位置的位值都是相鄰左邊位置位值的1/10倍。這種方法很容易記憶，但對低年級學童來說，並不容易理解。
比較好的方法是，將每個位值的數換成相同的單位來討論。例如可以這樣解釋「77」：左邊位置的7，表示70個「1」；右邊位置的7，表示7個「1」。因為70是7的10倍，所以左邊位置的7，會是右邊位置7的「10倍」。
這樣的說明過程雖然麻煩，但孩子較能掌握箇中意義，也有助於未來建立千、萬……等更高位值的概念。
困擾3│如何教九九乘法？
× 不問乘法表的內涵意義，崇尚反覆熟背。
○ 逛超市學「幾個一數」，建立倍數概念。
「九九乘法」的課程安排在國小二年級，可惜的是，家長常覺得只要會背就好，因此在孩子一年級的暑假、甚至更早，就逼著孩子背誦。然而，若孩子不了解乘法的意義，一旦討論到「關係」的概念時，孩子只能透過計算方式得到答案。以「7×5比7×3多多少？」這個題目為例，孩子只好依序算出7×5＝35、7×3＝21，再將兩數相減35－21＝14。
若孩子了解「倍」的意義與關係，只要懂得7×5是「5個7」、7×3是「3個7」，「5個7」比「3個7」多「2個7」，「2個7」是7×2＝14，所以兩者相差14。孩子如果能理解乘法表的倍數概念，在背誦上會很輕鬆自然，更不需背到「十十乘法表」，因為「7的9倍」是63，那「7的10倍」呢？再加一個7，自然就得到70。
那麼，如何幫助孩子了解「九九乘法」的意義？在日常生活中，可引導孩子多去注意周遭生活中「相同單位量包裝成一組」的現象，並透過「幾個一數」的概念來解決問題。例如，和孩子一起去超市，看到3個布丁裝一盒時，可以問他：「買4盒一共有幾個布丁？」看到一組養樂多有5瓶，問他：「買3組有多少瓶？」透過具體「幾個一組」的物品，再慢慢連結到「倍數」概念與九九乘法。
數學若能與生活連結，孩子必能更深入理解乘法意義，也更能在生活中活用數學。
困擾4│如何建立除法概念？
× 用乘法的概念來教除法。
○ 除法的基本概念是「累減」。
到了中年級，學生會開始接觸除法概念。通常除法教材的處理，會先從「分分看」的具體活動開始。以「有20顆糖果，一個人分4顆，可以分給幾個人？」題目為例，家長往往覺得這是除法問題，所以很疑惑：「為什麼不直接用除號（÷）來算呢？」因此常會直接告訴孩子用「除法」來解題。
必須留意的是，當孩子還不知道除法的意義，也不清楚誰是「被除數」、誰是「除數」，此時大人為求快速，利用「口訣」或「關鍵字」來教孩子判斷，如「大數除以小數」、「乘除互逆」等。這種教法的危險是：高年級學習分數或小數的除法時，孩子往往無法判別誰該除以誰。
幫助孩子了解除法概念，透過具體的「分」的活動，孩子通常不難理解；當孩子用算式記錄「分」的過程時，會將「每分完4顆，可以分給1個人」記成：「20－4＝16 ， 16－4＝12 ， 12－4＝8 ， 8－4＝4 ， 4－4＝0」，共減了「5個4」，總共分了5次，所以可以分給5個人。
除法的基本概念是「累減」，而不是「乘除互逆」；乘法的概念可用來「估計商數」，但千萬別用乘法來教除法。
困擾5│為什麼要出「加數未知」的算式填充題？
× 只求快速，要求用大人的想法解題。
○ 尊重認知層次，給予多元解法空間。
「小威有8元，媽媽再給他幾元後，小威就有15元？」像這樣的題型，我們稱為「加數未知」問題。在現行的數學課程中，老師會請學生先列出「算式填充題」，將未知的部分用括號（ ）表示，接著再進行解題。
針對這類題目，家長常反應：「直接算出答案就好了，為什麼要這麼麻煩列出式子，然後再解題呢？」我們不妨來看看低年級孩子是如何解決「加數未知」問題。
以上述數學問題為例，當學生列出8＋（ ）＝15的算式填充題後，可用9、10、11、12、13、14、15漸次「往上數」的策略，得到「再數7個數字，就會等於15」的答案；但如果學生已掌握7、8和15三個數字之間的關係，則可透過「15減8」來解題。
教導學童列出「算式填充題」的過程，是為以後列方程式鋪路，或摘要的用算式先把問題記下來，將注意力放在算式上，幫助學童用往上數或試算策略來解決問題。
等孩子接觸到的數字愈來愈大，發覺「往上數」策略解題很沒效率時，此時有經驗的老師，會幫助學童建立「部分─全體」的概念，掌握「加減互逆」的意義，讓學童利用減法來解決「加數未知」的問題。在孩子學數學的過程中，大人可以做的，就是多點耐心，別一開始就急著要孩子用大人的想法解題。
困擾6│為什麼不早點教「直式計算」？
× 過早學習直式算則，強調精確解題。
○ 嘗試更多不同方法，培養約估能力。
流暢的計算能力與豐富的解題經驗，不僅能培養數感，也是日後學習抽象運算及形式推理的基礎。當孩子開始學二位數的加減計算，家長常會急著教孩子用「直式算則」來計算，認為這是快速又方便的方式。但這有什麼缺點？試試看如果不使用「直式算則」，還可以有哪些方法？
以「27＋38」為例，至少有下列的不同思考方式（圖1），遠比只用直式算則得出答案（圖2），更能激發孩子對數字的多樣思考。
孩子的想法可能非常多元 （圖1）
A 27→37→47→57再加8，得到65。
B 27＋40＝67，再倒數2，得到65。
C 20＋30＝50、7＋8＝15，兩數相加50＋15＝65。
大人通常只這樣教（圖2）
7＋8＝15，在個位寫5進1到十位；1＋2＋3＝6，在十位寫6，得到答案65。
從圖1與圖2的各種解法中可以很清楚看到，如果只使用「直式算則」，孩子往往只需要模仿成人如何去操弄這些數字，記得各步驟的程序就能算出答案；且無論是幾位數的加減計算，孩子在每個位值所能練習到的，都是「18以內的加減」（註1）。但如果運用其他各種算法，才能真正培養孩子的數感，對於答案也能有較好的約估能力。至於「直式算則」，等孩子知道「十」是可以被計數的單位、能做「十」與「一」兩種單位的化聚（1個10可化成10個1，10個1可聚成1個10）、也熟悉「位值概念」時，再來學習也不遲！
困擾7│只強調口訣與公式，有什麼危險？
× 習以關鍵字解題，卻不知其所以然。
○ 掌握概念性理解，更勝程序性知識。
到了中高年級，孩子學習的內容愈來愈多時，大人通常只提供「口訣」或「公式」。例如：「分數除以分數要顛倒相乘」、「小數乘法中，答案的小數位數是被乘數及乘數小數位數的和」、「圓周率是3.14」、「捨等量公理而教移項法則」……。孩子不知道為什麼要這樣計算，卻背了許多口訣與公式，常會因為弄混、記錯導致解題失敗。
例如，許多大人會告訴孩子看到「共」、「多」就是加法，「差」、「少」就是減法，這會使孩子在未來的學習路上遭遇更多困難。例如「阿寶有40元，和姊姊的錢共有180元，姊姊有多少元？」若只看到題目中出現「共有」，就將40和180加起來，可就大錯特錯了。
再以分數的乘法為例，許多學童會牢記「分子乘以分子、分母乘以分母」口訣。但就曾有學童碰到分數乘以整數的題目「3/8×2＝（ ）」，便用「分子乘以整數、分母也乘以整數」的錯誤算法（3*2/8*2＝6/16 ）。事實上，若學童的分數乘法概念清晰，應該知道3/8是3個1/8，所以2個3/8等於6個1/8，合起來是6/8，不可能是6/16。像這樣的例子，隨著孩子年紀愈長就更不勝枚舉。
整體觀察，年級愈低的孩童，愈需要大人的協助。建議家長要多給予孩子「概念性知識」，著重思考的靈活與多元性，儘量避免只灌輸「口訣」或「公式」。當孩童只會「程序性知識」，卻缺乏「概念理解」，將嚴重影響後續的數學學習。
在數學學習的具體操作階段，建議多利用實物、教具幫孩子打好基礎，未來孩子面對更多抽象思考的數學概念時，才能減少學習障礙。家長在幫助孩童學習時，應多詢問孩子的想法，從理解題意著手，透過具體操作、圖解等方式，讓他們能理解數學，發現數學的奧妙迷人。
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